Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство , давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Запомните!

Неравенство называют квадратным , если старшая (наибольшая) степень неизвестного «x » равна двум.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства . Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Важно!

Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя !

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов .

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Запомните!

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

Теперь, как сказано в , нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с «+ », отметим знаки.

Нам осталось только выполнить , то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве «x 2 + x − 12 » , значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами «−3 » и «4 », поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства
«−3 ».

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −3

К слову сказать, именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа «−3 » и подставим его вместо «x » в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0 ». Подставим его в исходное неравенство «x 2 + x − 12 ».

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства «x 2 + x − 12 » методом интервалов будет выглядеть так:

X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2	x 2 = 1 − 7 2
x 1 = 8 2	x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x 2 = 0 Ответ: x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 Рассмотрим пример, где перед «x 2 » в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент. Разделы: Математика Класс: 9 Обязательным результатом обучения является умение решить неравенство вида: ax 2 + bx+ c > <0 с опорой на схематический график квадратичной функции. Чаще всего ученики допускают ошибки при решении квадратных неравенств с отрицательным первым коэффициентом. В учебнике предлагается в таких случаях заменять неравенство равносильным ему с положительным коэффициентом при x 2 (пример №3).Важно, что учащиеся поняли, что об исходном неравенстве нужно “забыть”, для решения изображать параболу надо с ветвями, направленными вверх. Можно рассуждать иначе. Допустим необходимо решить неравенство: –x 2 + 2x –5<0 Сначала выясним, пересекает ли график функции y=-x 2 +2x-5 ось ОХ. Для этого решим уравнение: Уравнение корней не имеет, следовательно, график функции y=-x 2 +2x-5 целиком расположен ниже оси Х и неравенство -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них. Умение решать отрабатывается на №111 и №119.Обязательно надо рассмотреть такие неравенства x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 и.т.д. Конечно при решении таких неравенств можно использовать параболу. Однако сильные учащиеся должны давать ответы сразу, не прибегая к рисунку. При этом обязательно надо требовать пояснений, например:x 2 ≥0 и x 2 +7>0 при любых значениях x. В зависимости от уровня подготовки класса можно ограничиться этими номерами или использовать №120 №121.В них необходимо выполнить несложные тождественные преобразования, поэтому здесь пройдет повторение пройденного материала. Эти номера рассчитаны на сильных учащихся. Если достигнут хороший результат и решение квадратных неравенств не вызывает никаких проблем, то можно предложить учащимся решить систему неравенств в которой одно или оба неравенства являются квадратными (упражнение 193, 194). Интересно не только решение квадратных неравенств, а и то, где еще можно применить это решение:для нахождения области определения функции исследования квадратного уравнения с параметрами (упражнение 122-124).Для наиболее продвинутых учащихся можно рассмотреть квадратные неравенства с параметрами вида: Ax 2 +Bx+C>0 (≥0) Ax 2 +Bx+C<0 (≤0) Где A,B,C,-выражения зависящие от параметров, A≠0,x- неизвестные. Неравенство Ax 2 +Bx+C>0 Исследуется по следующим схемам: 1)Если A=0, то имеем линейное неравенство Bx+C>0 2)Если A≠0 и дискриминант D>0,то, мы можем квадратный трехчлен разложить на множители и получить неравенство A(x-x1) (x-x2)>0 x 1 и x 2 - корни уравнения Ax 2 +Bx+C=0 3)Если A≠0 и D<0 то если A>0 решением будет множество действительных чисел R; при A<0 решений нет. Аналогично можно исследовать остальные неравенства. Можно использовать при решении квадратных неравенств следственно свойство квадратного трехчлена 1)Если A>0 и D<0 то Ax2+Bx+C>0- при всех x. 2)Если A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x. При решении квадратного неравенства удобнее использовать схематическое изображение графика функции y=Ax2+Bx+C Пример: Для всех значений параметров решить неравенство X 2 +2(b+1)x+b 2 >0 D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2 1) D<0 т.е. 2b+1<0 Коэффициент перед x 2 равен 1>0 то неравенство выполняется для всех x, т.е. Х є R 2) D=0 => 2b+1=0 Тогда x 2 +x+¼>0 x є(-∞;-½) U (-½;∞) 3) D>0 =>2b+1>0 Корни квадратного трехчлена имеют вид: X 1 =-b-1-√2b+1 X 2 =-b-1+√2b+1 Неравенство принимает вид (x-x 1) (x-x 2)>0 Используя метод интервалов получим x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞) Для самостоятельного решения дать следующее неравенство В результате решения неравенств ученик должен понимать, что для решения неравенств второй степени предлагается отказаться от излишней детализации способа построения графика, от нахождения координат вершин параболы, соблюдения масштаба, можно ограничиться изображением эскиза графика квадратичной функции. В старшем звене решение квадратных неравенств практически не является самостоятельной задачей, а выступает в качестве составляющей решения другого уравнения или неравенства (логарифмического, показательного, тригонометрического). Поэтому нужно научить учащихся беглому решению квадратных неравенств. Можно обратиться трем теоремам, заимствованным из учебника А.А. Киселева. Теорема 1. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c,где a>0, имеющий 2 различных действительных корня (D>0). Тогда:1)При всех значениях переменной x,меньших меньшего корня и больших большего корня, квадратный трехчлен положителен 2) При значениях x между корнями квадратными трехчлен отрицателен. Теорема 2. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c, где a>0 имеющий 2 одинаковых действительных корня (D=0).Тогда при всех значениях x отличных от корней квадратного трехчлена, квадратный трехчлен положителен. Теорема3. Пусть дан квадратный трехчлен ax 2 +bx+c где a>0 не имеющий действительных корней (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо. Например: следует решить неравенство: D=1+288=289>0 Решением является X≤-4/3 и x≥3/2 Ответ (-∞; -4/3] U
7. (-∞; 2) U (3; ∞)	7. [-4; 0]
8. [-2; 1]	8. Ø
9. [-2; 0]	9. (-∞; -4) U (-4; ∞)

Ответы помещают на обратной стороне, посмотреть их можно после того, как прошло отведенное время. Удобнее всего эту работу провести в начале урока по сигналу учителя. (Внимание, приготовились, начали). По команде “Стоп” работа прерывается.

Время работы определяется в зависимости от уровня подготовки класса. Рост скорости показатель работы ученика.

Умение решать квадратные неравенства пригодится учащимся и при сдаче ЕГЭ. В задачах группы B все чаще встречаются задания связанные с умением решать квадратные неравенства.

Например:

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой

(h- высота в метрах,t-время в секундах, прошедшее с момента броска).

Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Для решения необходимо составлять неравенство:

5t 2 +18t-9≥0

Ответ:2,4 с

Начиная давать учащимся, примеры из ЕГЭ уже в 9-ом классе на этапе изучения материала, мы уже готовим к сдаче экзамена, решение квадратных неравенств содержащих параметр дает возможность решать задачи из группы C.

Не формальный подход к изучению темы в 9 классе, облегчает усвоение материала в курсе “Алгебра и начала анализа” по таким темам как “Применение производной” “Решение неравенств методом интервалов” “Решение логарифмических и показательных неравенств” “Решение иррациональных неравенств”.

1

2. Далингер В.А. Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах и как их не допускать. – Омск: Изд-во Омского ИУУ, 1991.

3. Далингер В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Выпуск 5. Показательные, логарифмические уравнения, неравенства и их системы: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1996.

4. Далингер В.А. Начала математического анализа: Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Учебное пособие. – Омск: «Издатель-Полиграфист», 2002.

5. Далингер В.А., Зубков А.Н. Пособие для сдачи экзамена по математике: Анализ ошибок абитуриентов по математике и пути их предупреждения. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1991.

6. Кутасов А.Д. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы: Учебно-методическое пособие N7. – Изд-во Российского открытого университета, 1992.

Ошибки, допускаемые обучающимися при решении логарифмических уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера. об этих и других ошибках пойдет речь в этой статье.

1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних коней.

Рассмотрим на конкретных примерах ошибки подобного рода, но прежде обращаем внимание читателя на следующую мысль: не бойтесь приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки, бойтесь потерять корни.

а) Решить уравнение:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3, (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = -4 является корнем заданного уравнения.

б) Решить уравнение

Область определения исходного уравнения задается системой

Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.

2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению. Остановимся в связи с этим на примере.

Решить уравнение

Найдем область определения этого уравнения, для чего решим систему неравенств:

Откуда имеем x = 0. Проверим непосредственной подстановкой, является ли число x = 0 корнем исходного уравнения

Ответ: x = 0.

3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Подтвердим сказанное следующим примером.

Решить уравнение

Приведем ошибочное решение этого уравнения:

Поверка показывает, что х = -2 не является корнем исходного уравнения.

Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.

Однако это не так. Выполнив подстановку х = -4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.

Проанализируем, почему произошла потеря корня.

В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.

Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейдем в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.

4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Покажем это на примере.

Решить неравенство

Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.

Найдем область определения неравенства:

Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).

Для всех x из промежутка (9;10] выражение x - 9 имеет положительные значения, а выражение lg(x - 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение (- (x - 9) lg(x - 9) положительно или равно нулю.

Окончательно имеем x∈ (9;10]. Заметим, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].

5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.

Решить уравнение

Наш опыт показывает, что учащиеся, решая это уравнение графически (заметим, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций

это графики взаимно обратных функций.

На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.

Заметим, что уравнения вида logax = ax при 0 < a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции разномонотонны (одна из них возрастает, а другая - убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Покажем типичные ошибки такого рода.

а) Решить уравнение xx = x.

Функция, стоящая в левой части уравнения, - показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:

Откуда имеем x = 1.

Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее мы потеряли два корня уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = -1 являются корнями исходного уравнения.

б) Решить уравнение

Как и в предыдущем случае, мы имеем показательно-степенную функцию, а значит x > 0, x ≠ 1.

Для решения исходного уравнения прологарифмируем его обе части по любому основанию, например, по основанию 10:

Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл, мы имеем совокупность двух систем:

Первая система не имеет решения; из второй системы мы получаем x = 1. Учитывая наложенные ранее ограничения, число x = 1 не должно являться корнем исходного уравнения, хотя непосредственной подстановкой мы убеждаемся в том, что это не так.

7. Рассмотрим некоторые ошибки, связанные с понятием сложной функции вида . Ошибку покажем на таком примере.

Определить вид монотонности функции .

Наша практика показывает, что абсолютное большинство учащихся определяют монотонность в данном случае лишь по основанию логарифма, а так как 0 < 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Нет! Эта функция возрастающая.

Условно для функции вида можно записать:

Возрастающая (Убывающая) = Убывающая;

Возрастающая (Возрастающая) = Возрастающая;

Убывающая (Убывающая) = Возрастающая;

Убывающая (Возрастающая) = Убывающая;

8. Решите уравнение

Это задание взято из третьей части ЕГЭ, которое оценивается баллами (максимальный балл - 4).

Приведем решение, которое содержит ошибки, а значит за него не будет выставлен максимальный балл.

Сводим логарифмы к основанию 3. Уравнение примет вид

Потенцируя, получаем

х1 = 1, х2 = 3.

Выполним проверку, чтобы выявить посторонние корни

, 1 = 1,

значит х = 1 - корень исходного уравнения.

значит х = 3 корнем исходного уравнения не является.

Поясним, почему это решение содержит ошибки. Суть ошибки в том, что запись , содержит две грубые ошибки. Первая ошибка: запись вообще не имеет смысла. Вторая ошибка: не верно, что произведение двух сомножителей, один из которых 0, обязательно будет нулем. Ноль будет в том и только в том случае, если один множитель - 0, а второй множитель имеет смысл. Здесь же, как раз, второй множитель смысла не имеет.

9. Вернемся к уже прокомментированной выше ошибке, но при этом приведем и новые рассуждения.

При решении логарифмических уравнений переходят к уравнению . Каждый корень первого уравнения является корнем и второго уравнения. Обратное, вообще говоря, неверно, поэтому, переходя от уравнения к уравнению , необходимо в конце проверить корни последнего подстановкой в исходное уравнение. Вместо проверки корней целесообразно заменять уравнение равносильной системой

Если при решении логарифмического уравнения выражения

где n - четное число, преобразовываются соответственно по формулам , , , то, так как во многих случаях при этом сужается область определения уравнения, возможна потеря некоторых его корней. Поэтому указанные формулы целесообразно применять в следующем виде:

n - четное число.

Обратно, если при решении логарифмического уравнения выражения , , , где n - четное число, преобразовываются соответственно в выражения

то область определения уравнения может расшириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней. Помня об этом, в подобных ситуациях необходимо следить за равносильностью преобразований и, если область определения уравнения расширяется, делать проверку получаемых корней.

10. При решении логарифмических неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.

Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше, на стадии нахождения корней рациональной функции, получившейся в левой части неравенства. Этого делать не следует.

11. Приведем пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.

Решите неравенство

.

Приведем ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:

откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств повышенной сложности с помощью метода интервалов. В примерах будут использованы более сложные комбинированные функции и будут рассмотрены типовые ошибки, возникающие при решении подобных неравенств.

Тема: Рацион альные неравенства и их системы

Урок: Решение рациональных неравенств пов ышенной сложности

1. Тема урока, введение

Мы решали рациональные неравенства вида и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.

2. Решение задач

Рассмотрим неравенства другого типа.

1. Решить неравенство

Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.

Теперь можно исследовать функцию

Рассмотрим функцию нет корней.

Схематически изобразим и прочитаем график функции (Рис. 1).

Функция положительна при любом .

Т. к. мы установили, что можем поделить обе части неравенства на это выражение.

Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель.

Рассмотрим функцию .

Схематически изобразим график функции - параболу, значит ветви направлены вниз (Рис. 2).

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию

1. Область определения

2. Нули функции

3. Выделяем интервалы знакопостоянства.

4. Расставляем знаки (Рис. 3).

Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.

Мы допустили типовую ошибку - не включили в ответ корень . В данном случае равенство нулю допускается, т. к. неравенство нестрогое.

Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что

Ответ:

Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения.

Рассмотрим еще один пример.

3. Решить неравенство

Разложим на множители каждую скобку в отдельности.

, потому можно не учитывать этот множитель.

Теперь можно применить метод интервалов.

Рассмотрим Сокращать числитель и знаменатель на мы не будем, это ошибка.

1. Область определения

2. Нули функции нам уже известны

Не является нулем функции, т. к. не входит в область определения - в этом случае знаменатель равен нулю.

3. Определяем интервалы знакопостоянства.

4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям (Рис. 4).

3. Заключение

Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 37; 45(а, в); 47(б, г); 49.

1. Портал Естественных Наук.

2. Портал Естественных Наук.

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку.

4. Виртуальный репетитор.

5. Центр образования «Технология обучения» .

6. Раздел College. ru по математике.