На практическом занятии мы повторим основные типы заданий из темы «Тригонометрия» , дополнительно разберем задачи повышенной сложности и рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и их систем .
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3 .
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности
Практика
Конспект урока
Повторение тригонометрии
Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.
Задача №1 . Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .
а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы
Подставим в нее указанное значение .
б) Применим формулу перевода радиан в градусы
Выполним подстановку 
.
Ответ. а) ; б) .
Задача №2 . Вычислить: а) ; б) .
а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т. к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .
б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .
Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:
Воспользовались нечетностью функции тангенс.
Ответ. а) 1; б) .
Задача №3
. Вычислить 
, если .
Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т. к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.
Задача №4 . Упростить выражение .
Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:
Т. к. , то функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.
По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.
Подставим все в упрощаемое выражение:
Задача №5 . Упростить выражение .
Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:
Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.
Задача №6 . Вычислить .
Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.
Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.
Задача №7 . Решить уравнение .
При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т. к. на ноль делить нельзя.
Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.
Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т. е. корней нет.
Ответ. Корней нет.
Задача №8 . Решить уравнение .
Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:
Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:
Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.
Решим отдельно последнее уравнение:
Данное уравнение не имеет корней, т. к. значение синуса не могут выходить за пределы 
.
Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:
 |
Это семейство всех половин , т. е.
Тригонометрические неравенства
Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.
Задача №9 . Решить неравенство .
Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.
 |
Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т. е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т. к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.
Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка - это указать сразу, что правой точке соответствует угол , левой и дать ответ . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.
Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т. е. по часовой стрелке и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:
Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса :
Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.
Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.
Ответ.
.
Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.
Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.
Задача №10 . Решить неравенство .
Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:
Получаем в нашем случае:
Ответ. 
Задача №11 . Решить неравенство .
Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:
Ответ.
.
Задача №12 . Решить неравенства: а) ; б) .
В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.
а) Поскольку 
, то неравенство не имеет смысла. Следовательно, решений нет.
б) Т. к. аналогично , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента .
Ответ. а) решений нет; б) .
Задача 13
. Решить неравенство 
.
Это простейшее неравенство со сложным аргументом решается аналогично подобному уравнению. Сначала находим решение для всего указанного в скобках аргумента целиком, а потом преобразовываем его к виду «», работая с обоими концами промежутка, как с правой частью уравнения.
УРОКИ №27-28
Способы решения тригонометрических неравенств
Цели и задачи урока:
Образовательная:
Изучить способы решения тригонометрических неравенств.
Организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню сформированных знаний и умений.
Развивающая:
Развивать у учащихся умение стоить математические модели, в данном случае графическую модель решения неравенства.
Воспитательная:
Способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету, воздействуя на интерес старшеклассников к самопознанию.
Тип урока: комбинированный урок.
Методы урока: словесный, практический, контроль и обобщение знаний.
Формы организации деятельности учащихся на уроке: фронтальная, работа в группах, контролирующая самостоятельная работа.
Метод приобретения знаний : эвристический, исследовательский.
Презентация к уроку.
Ход урока
1. Самоопределение к деятельности (3 мин)
Психологический настрой учащихся. Объявление темы урока, комментарий целей урока.
2. Проверка домашнего задания (5 мин)
Комментарий по домашнему заданию, при необходимости у доски показывают решение справившиеся учащиеся
3. Актуализация теоретических знаний учащихся ( 12 мин)
Фронтальный опрос учащихся:
Область значений тригонометрических функций
Область определения тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций углов 0 0 , 30 0 , 45 0 ,60 0 , 90 0 , 120 0 , 135 0 , 150 0 , 180 0 .
Перечислить виды простейших тригонометрических уравнений.
Способы решения тригонометрических уравнений.
Способы решения систем тригонометрических уравнений.
Работа с тригонометрическим кругом. По значениям тригонометрических функций определить угол, найти значения обратных тригонометрических функций.
4. Объяснение нового материала ( 20 мин).
Виды простейших тригонометрических неравенств и их интерпретация на тригонометрической окружности:
1) cost > а
Ответ: (-arccos а +2π k ; arccos а+ 2π k ), k ЄZ
2) sint < а
Ответ: (-(π +arcsin а )+2π k ; arcsin а +2π k ), k ЄZ
3) tgt > - а
Ответ: (-arctg а +π k ; π/2 +π k ), k ЄZ
4) ctgt > а
Ответ: (0+π k ; arcctg а +π k ), k ЄZ .
Рассмотрим примеры решения (на слайдах):
Учащиеся самостоятельно комментируют предложенное решение
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств
С помощью простейших алгебраических преобразований и тригонометрических преобразований свети заданное тригонометрическое неравенство к простейшему.
Обозначить на оси, соответствующей тригонометрической функции, находящейся в левой части неравенства, значение из правой части неравенства.
Провести прямую через эту точку перпендикулярно этой оси.
Обозначить точки пересечения прямой с тригонометрической окружностью (выколоть их в случае строго неравенства и закрасить в ином случае).
Выделить соответствующую дугу в границами в этих точках согласно знаку неравенства.
Указываем направление отсчёта (против часовой стрелки).
Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.
Находим угол, соответствующий концу дуги.
Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.
5. Практическая часть. Закрепление изученного материала (30 мин)
№136(а,в), №137(а,в), №138(а,в),№140(а,в), №142(а,в), №144(а,в), №142, №145 (учебник Алгебра и начала анализа 10, А.Е.Абылкасымова)
Учащиеся решают у доски по двое (либо разные примеры, если уровень класса выше среднего, и один и тот же пример в ином случае – с целью создания соревновательного эффекта).
6. Самостоятельная работа (12 мин)
Вариант -1 Вариант -2
1) sin
x
< 
/2 1)sin
x
< 1/2
2) cos
x
< -1/2 2) cos
x
≥ -
/2
3) tg 2 x -1 3) tg 3 x ≤ 1
4)
sin
(2
x
–
π
/6)
-
/2 4)
cos
(3
x
–
π
/4) ≤ -
/2
5) 2cos (4x – π/6) > 1 5)2sin (x /2 + π/4) ≥ -1
Самостоятельная работа проверяет умение учащихся сводить неравенство к простейшему и решать простейшие тригонометрические неравенства. Предусмотрены ситуации: строгое – нестрогое неравенство; выделенная на окружности дуга выше – ниже, правее – левее заданного числа.
7. Задание на дом (2 мин)
§11 (стр.80) – изучить способ решения тригонометрических неравенств с помощью графиков тригонометрических функций
Выполнить любым способом №136(б,г), №137(б,г), №138(б,г),№140(б,г), №142(б,г), №144(б,г) (учебник Алгебра и начала анализа 10, А.Е.Абылкасымова)
8. Итог урока (3 мин)
Кратко охарактеризовать работу класса на уроке. Обратить внимание учащихся на способы решения тригонометрических неравенств, рассмотренных на уроке. Дать комментарий к оценкам.
9. Рефлексия (3 мин)
Заполнить таблицу:
Доступность объяснения
Уровень понимания темы
На какую оценку ты сегодня работал(а)?
Кто, по твоему мнению, активно работал на уроке (указать оценки)
Какой тип неравенства вызывает затруднение?
Интересна ли тебе изученная тема?
Устраивает ли тебя темп урока? Есть необходимость его снизить или повысить?
Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.
В статье представлен алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и приведен конспект урока, на котором осваиваются более сложные типы тригонометрических неравенств.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Щалпегина И.В.
Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.
Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.
Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.
Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.
Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.
- Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
- В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
- Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р t1, другую точку – Р t2 .
- Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
- Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
- Определяем направление движения по дуге (от точки Р t1 к точке Р t2 по дуге ), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак «+» или «-» в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности ).
- Находим координаты точек Р t1 (как арксинус или арккосинус данного числа) и Р t2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t 1 и t 2.
- Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.
Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.
Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.
Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».
Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Цели урока:
- закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
- формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
- освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
- развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
- воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
- формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.
N п/п | Этапы урока. | |||||||||
Организация класса на работу. | ||||||||||
Проверка домашнего задания. | (Сбор тетрадей с домашней работой) |
|||||||||
Формулировка цели урока. | Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи. |
|||||||||
Устная работа. | (Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)
sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x -) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.
|
|||||||||
Повторение. | Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств. (На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств. Ученик подробно объясняет алгоритм решения. Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).
Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства? (3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках).
Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища. (Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия). Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на?(Оценивание работ учащихся). |
|||||||||
Новый материал. | Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам, решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры. (Решение неравенств на доске под руководством учителя). №1. cos 2 2x – 2cos2x ≥ 0. (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Замена: cos2x = t, ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ). Ответ: + n х + n, n Z. №2. 6sin 2 x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями). Замена sinx = t, ≤ 1. 6t 2 – 5t +1 ≥ 0, 6(t -)(t -), Ответ: + 2 n ≤ х ≤ + 2 n, - -arcsin+ 2 k ≤ х ≤ arcsin+ 2 k, n, k Z. №3. sinx + cos2x 1. (Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой). sinx + cos2x - 1 0, sinx – 2sin 2 x 0, sinx(1 - 2 sinx) 0,
Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема: №4. coscosx - sinsinx -. (Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте). cos(x +) -, cost -.
№5. Определите все а , при каждом из которых неравенство 4sinx + 3cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение. (Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа). 4sinx + 3cosx ≤ а , М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx ≤ . Так как () 2 + () 2 = 1, то существует такой угол α, что cosα = , а sinα = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + α) ≤ . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что ≥ -1, то есть при каждом а ≥ -5. Ответ: а ≥ -5. |
|||||||||
Домашнее задание. | (Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства).
Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе. |
|||||||||
Подведение итогов, рефлексия. | Назовите приемы решения тригонометрических неравенств. Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств? Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение? (Оцениваю работу учащихся на уроке). |
Самостоятельная работа
по результатам освоения материала.
Вариант 1. Решите неравенства 1 – 3:
| Вариант 2. Решите неравенства 1 – 3:
|
Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств
Оборудование: ПК, проектор, экран, доска для маркеров.
Тип занятия: Изучение нового материала.
Тема занятия: Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Цели:
Образовательная цель:
сформировать навык решения простейших тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств;
познакомить студентов с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.
Развивающая цель:
обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства;
применять знания на практике;
учиться критически оценивать свои знания.
Воспитательная цель:
воспитывать положительное отношение к знаниям;
воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий;
воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).
Задачи:
повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin , arccos , arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;
научить применять графический метод для решения простейших тригонометрических неравенств;
отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;
расширить кругозор студентов об истории развития Тригонометрии;
для активизации познавательной деятельности студентов применять различные формы и методы работы на занятии: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.
Структура занятия:
Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.);
Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.);
Объяснение нового материала (15 мин.);
Экспертная работа (10 мин.);
Самостоятельная работа в парах (15 мин.);
Домашнее задание (5 мин.);
Игра «Поле чудес» (15 мин.);
Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).
Пояснение к занятию: во время занятия студенты выставляют баллы в Рабочую карту занятия согласно правилам, описанным в данной карте. В конце занятия подводится итог работы студентов по количеству набранных баллов.
Ход занятия:
Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.) .
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.».
Давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание на сегодня.
Проверка домашнего задания:
№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)
За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Домашняя работа».
Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.).
Тема нашего занятия – Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Давайте запишем дату и тему занятия в тетрадь.
Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять свои знания и умения для решения тригонометрических неравенств.
Давайте сначала поработаем устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.
Устная работа:
Объяснение нового материала (10 мин.).
Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции .
Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.
Рассмотрим решение неравенства 
Построим графики функций: 
, 
.
Определим точки пересечения данных графиков:
Заштрихуем область, при которой значения функции больше
, если 
Так как функция периодическая (Т=
), значит, 
, 
Аналогично рассматривается решение неравенства 
Ответ: 
,
Экспертная работа (10 мин.).
К доске приглашаются студенты, хорошо разобравшиеся в материале и желающие ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные студенты могут поправлять их решение по мере надобности с места.
Решить неравенства:
1. 
Ответ: 
,
2. 
Ответ: 
,
За работу у доски студенты получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.
Самостоятельная работа в парах (15 мин.).
Студенты выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на доске.
Для решения тригонометрических неравенств графическим способом можно использовать Приложение № 1 к данному занятию.
Вариант № 1
Решить неравенства:
Вариант № 2
Решить неравенства:
1. 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: решений нет, т. к. 
Ответ: решений нет, т. к. 
Ответ:
Ответ: 
За каждое верное задание №1-№3-1 балл, № 4 – 2 балла.
Подведение итогов изучения новой темы. Студентам необходимо ответить на вопросы преподавателя.
Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?
Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?
Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?
За каждый правильный ответ студенты получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Устная работа».
Домашнее задание (5 мин.).
Сборник задач по математике Н.В. Богомолов
Дополнительное задание: 
Игра «Поле чудес» (20 мин.).
Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Преподаватель читает задание, студенты могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.
За каждую угаданную букву (решенное задание) студенты получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.
Задание № 1
Ответ: Тригонометрия
Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).
Рабочая карта занятия
Студента _________________________________ группы « »
о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы
Домашняя работа
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание.
Итог: _____
Устная работа
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за ответ по теории.
Итог: _____
Экспертная
работа (работа у доски)
о/г
1-3 балла за работу у доски,
1 балл за работу с места.
Итог: _____
Самостоятельная
работа в парах
о/т
За каждое верное задание
№1-№3-1 балл,
№ 4 – 2 балла.
Итог: _____
Игра «Поле чудес»
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за отгадывание слова.
Учебная дисциплина: Математика.Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления. Цели урока: 1) образовательные:
- показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности. учить решать простейшие тригонометрические неравенства.
- развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления;
- развитие внимания; развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.
- учить высказывать свои идеи и мнения; формировать умения помогать товарищам и поддерживать их; формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.
- наглядно - иллюстративный;
- для соединения новой информации с уже изученным материалом; для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации; для развития умений делиться своими идеями и мнениями. для развития логики, навыков рефлексии.
- учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс; проектор, доска; презентация MS PowerPoint.
- Организационный момент(1 мин)
; Проверка домашнего задания(7 мин)
; Изучение нового материала (31 мин)
; Домашнее задание(3 мин);
Подведение итогов (3 мин)
Тема урока: Решение простейших тригонометрических неравенств.
Выполнила: преподаватель математики КГБОУ НПО «ПУ №44» Мозер О. С.
Этапы деятельности
Преподаватель: - На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x ≤ a , cos x > a , tg x ≥ a , ctg x a и т.д. Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности: Алгоритм решение данного неравенства: Аналогично по алгоритму, преподаватель и учащиеся решают следующие примеры: